Aritmetica
ARITMETICA
(arithmetic ~ rechnen)
L’area matematica, sia per quanto attiene l’aritmetica che la geometria, si avvale di tantissimi materiali originali, attraenti, coinvolgenti, che invitano il bambino a lavorarci. E, in un’interazione giocosa, veicolano la comprensione empirica, tattile, sensoriale e pratica dei concetti astratti più complessi e basilari di queste materie, tanto affascinanti, quanto ostiche ai più.
- Aritmetica in Gonzaga Arredi (catalogo)
- Nienhuis – mathematics range (prodotti)
- Nienhuis – mathematicsl (introduzione)
- Mathematics in Montessori Primary Guide
- Introduzione in Shu-Chen Jenny Yen’s Montessori Album
- Introduzione alla matematica in Montessori Mom
In dettaglio:
1) Aste numeriche # number rods # Numerische Stangen
descrizione:
si tratta di dieci aste identiche a quelle della lunghezza (materiale sensoriale n. 4), con la differenza che ogni sezione di 10 cm è colorata alternativamente in rosso e in blu. Esplorando questo materiale, il bambino familiarizza con le quantità da 1 a 10 e i loro corrispondenti numerici; sviluppa così il concetto di sequenza numerica e delle combinazioni di dieci. Sono strutturate in una serie di 10 aste di legno, in gradazione di lunghezza da dieci centimetri ad un metro. La prima asta più piccola è rossa, la seconda ne raddoppia la misura ed è pitturata per metà di blu, la terza triplica la misura della prima ed è divisa in tre sezioni (una rossa, una blu, una rossa). E così via, per tutte le altre quantità, partendo sempre con la prima parte dipinta di rosso. Il numero delle sezioni colorate rappresenta il numero simboleggiato da quell’asta. Il controllo dell’errore è dato dal numero di sezioni nelle quali è suddivisa ciascuna asta.
Esiste anche una versione più piccola delle aste numeriche, che permette di lavorare seduti al tavolo anzichè per terra:
Per approfondire:
- Montessori Primary Guide: presentazione
- Montessori Primary Guide: number rods and cards
- Presentazione in Montessori Mom
si favoriscono:
sperimentazione della quantità rappresentata da ciascun numero e apprendimento dei rispettivi nomi, apprendimento del concetto che ciascun numero è rappresentato da un singolo oggetto unitario, separato dagli altri, memorizzazione della sequenza numerica da 1 a 10.
FAI DA TE:
Claudia della Casa nella Prateria, uno dei blog che visito sempre volentieri, ha spiegato passo dopo passo il procedimento per realizzare in casa delle perfette aste numeriche. Le numerose fotografie aiutano a visualizzare le diverse fasi del lavoro:
=> ‘Realizzare da sè le aste numeriche’, dal blog La Casa nella Prateria
2) Cifre smerigliate # sandpaper numbers # Sandpapierziffern
descrizione:
questo materiale introduce il bambino ai simboli da zero a nove ed ai nomi ad essi corrispondenti. Consta in dieci tavolette di legno liscio e verde, sulle quali sono applicati i numeri (in carta vetrata) da 0 a 9. Lo zero si consiglia di introdurlo dopo aver lavorato un po’ con i fuselli (vedi prossimo materiale, n.3). Seguendo con le dita i contorni delle cifre nello stile e direzione nel quale sono realizzate, il bambino si prepara ai movimenti della scrittura. Il controllo dell’errore è dato dalla carta vetrata, che guida la sensibilità dei polpastrelli mentre percorrono i contorni della cifra.
Per approfondire:
si favoriscono:
apprendimento dei simboli legati ai numeri conosciuti dal bambino, preparazione alla scrittura dei numeri.
FAI DA TE:
Momatwork, con la simpatia che la contraddistingue, ha raccontato di come, dopo aver vagliato le diverse soluzioni riferite da altre mamme (delle quali riporta i link), abbia optato per delle tavolette di compensato marino (che, come ha spiegato altrove, è una versione di qualità migliore rispetto al compensato grezzo ed è reperibile in qualunque centro per il bricolage) e del velluto adesivo. Mi piace l’idea dei due lati della tavoletta così assortiti, con una base dipinta di verde e una lasciata al naturale… Ecco come si presentano:
3) Casellario dei fuselli # spindle box # Spindelkasten
descrizione:
con il casellario dei fuselli il bambino si esercita ad associare quantità e simbolo per tutti i numeri da zero a nove. Si può presentare in un’unica scatola oppure in due scatole di uguali dimensioni (0-4 e 5-9). Sul fondo sono dipinti i numeri in nero; unitamente al casellario sono previsti 45 fuselli di legno e 8 fiocchi o elastici rossi. Il controllo dell’errore è costituito dal materiale, perchè se lo smistamento viene eseguito correttamente, alla fine dell’esercizio non avanza (né manca) alcun fusello.
Per approfondire:
si favoriscono:
chiarimento del concetto che i simboli numerici rappresentano una determinata quantità di oggetti distinti, introduzione del concetto di zero (casella vuota!) e del suo simbolo, rafforzamento del concetto che non vi sono altri simboli numerici che quelli compresi fra 0 e 9, rafforzamento della nozione di sequenza naturale dei numeri.
4) Materiale delle perle d’oro # golden bead material # Golden Perlenmaterial
Maria Montessori scrisse:
«(…) Se disponiamo una sull’altra le asticine, tante quante sono le perle infilate in ogni asticina, si ha la forma di quadrato. Infatti nel sistema esistono quadrati di 3×3 perle rosa; di 4×4 perle gialle; di 5×5 perle celesti; (…) cioè riproducenti i colori delle asticine di perle che servivano in principio per la numerazione. (…) Il bambino non solo può contare le perle delle catene e dei quadrati; ma, con le corrispondenti asticine libere che possiede, può riprodurle, disponendo le asticine stesse o una in fila all’altra in linea, o una sopra l’altra a quadrato. E’ il numero ripetuto tante volte quante sono le unità che contiene: è il numero moltiplicato per se stesso. (…) Oltre ai quadrati, nel sistema sono considerati i cubi dei numeri: (…) la catena del cubo del numero costruita a mezzo di catene del quadrato rilegate da catenelle mobili, le quali permettono di ripiegarle una sull’altra; (…) un vero cubo di perle costruito legando uno sull’altro il numero necessario di quadrati. (…) Osservando il cubo: esso ha lo spigolo di 4; moltiplicando quattro volte il quadrato, si ha il cubo. Moltiplicando la superficie di un quadrato, pel numero di unità contenute nello spigolo, si ha il volume del cubo (…) Con ciò il bambino può ricevere una prima intuizione dei procedimenti necessari per calcolare la superficie e i volumi. Noi, con questo materiale, non dobbiamo proporci di insegnare molto; ma di lasciare molto libero il bambino di maturare le proprie idee, osservando, sperimentando, meditando sul maneggevole e attraente materiale. A poco a poco vedremo empirsi lavagnette e quaderni con calcoli di numeri elevati al quadrato e al cubo, indipendentemente dalla ricca serie di oggetti che il materiale di sviluppo offre al bambino. (…) Quando un giorno il bambino sentirà parlare di ‘progressione geometrica’ e di ‘quadrati delle distanze’ capirà immediatamente e con grande chiarezza. (…)» da ”L’Autoeducazione nelle scuole elementari’, di Maria Montessori, 1916 – ed. Garzanti, 1992
descrizione:
le perle sono uno dei materiali matematici di base del metodo Montessori, e vengono impiegate per diversi scopi, individualmente o in gruppo. Questo sistema di perle dorate è studiato per l’esercitazione individuale alla scoperta delle relazioni e delle dinamiche del sistema decimale. Le perle possono essere di vetro o di nylon, come dimostra anche la diversa colorazione tra quelle reperibili presso la Nienhuis (immagine sopra) e quelle di Montessori Outlet (immagine sotto). Le singole perle rappresentano le unità, poi vi sono i bastoncini da 10 (decine), il quadrato del 100 (centinaia) e infine il cubo del 1000 (migliaia). In questo modo si ha una rappresentazione concreta del sistema decimale, e del concetto che ciascuna categoria decimale non superi il 9.
Per approfondire:
- Presentazione in Montessori Primary Guide
- Presentazione in Montessori Mom
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: introduction to the decimal system
si favoriscono:
introduzione del concetto di sistema decimale, familiarizzazione con nomi e categorie, comprensione delle differenze volumetriche tra unità, decine, centinaia e migliaia.
5) Serie completa materiale delle perle # bead cabinet # Kompletter Satz Perlenmaterial
Maria Montessori scrisse:
«(…) I bambini nella ‘Casa dei Bambini’ erano giunti a compiere le quattro operazioni nella loro espressione più semplice; e il materiale di sviluppo consisteva nelle aste delle lunghezze (…) Era su quel principio realizzato dal sistema delle aste, che i bambini erano riusciti a compiere così facilmente le prime operazioni aritmetiche: 7+3=10; 2+8=10; 10-4=6 ecc. Il materiale, dunque, servì eccellentemente. Esso però è troppo limitato in quantità, e troppo grande in dimensioni e quindi non facilmente maneggevole, per diffondersi utilmente e sufficientemente a tutta una scolaresca, la quale si sia iniziata all’aritmetica. Ecco perchè, conservando il medesimo concetto fondamentale, abbiamo preparato un materiale piccolo, abbondante, accessibile a una quantità notevole di bambini che lavorino nello stesso tempo. Esso consiste in perle legate rigidamente da un filo di ferro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Queste perle sono colorate differentemente: la fila di dieci perle è arancione; quella di nove è turchina; quella di otto è violetta; quella di sette è bianca; quella di sei è grigia; quella di cinque è celeste; quella di quattro è gialla; quella di tre è rosa; quella di due è verde. Poi ci sono perle isolate per l’unità. Queste perle sono di vetro lucente, e il filo di metallo bianco con cui sono infilate e fissate in cima e in fondo con una ripiegatura a occhiello, è rigido e resistente. Questi oggettini attraenti (…), essendo poi così maneggevoli e piccoli, permettono il lavoro a tavolino. Questo materiale semplicissimo, di facilissima preparazione, ha avuto un successo straordinario tra i bambini di cinque anni e mezzo. Essi hanno lavorato con una meravigliosa intensità, compiendo perfino sessanta operazioni aritmetiche di seguito, ed empiendo quaderni interi di operazioni nello spazio di pochi giorni. (…) La possibilità di complicare ed ampliare i primitivi esercizi con le aste, ha reso più rapido, sicuro e generalizzato il calcolo mentale che spontaneamente si sviluppa, come per una legge di risparmio che tenda all’attuazione del ‘minimo sforzo’. Infatti il bambino a poco a poco, senza più contare le perle, riconosce al colore i numeri: turchino 9, giallo 4 ecc, e, quasi senza avvedersene, contando oramai dei colori, anziché delle quantità di perle, fa veri e propri calcoli mentali: appena il bambino si renda conscio di ciò, con sua gran gioia fa la dichiarazione del passaggio al grado più elevato: ‘io conto a mente, faccio più presto’. Allora il primo materiale delle perle è superato. (…)» da ”L’Autoeducazione nelle scuole elementari’, di Maria Montessori, 1916 – ed. Garzanti, 1992
descrizione:
si tratta della serie completa che, tramite l’immediato riscontro dei diversi colori, evita al bambino di contare i singoli elementi:
fila di 10 perle => arancione;
fila di 09 perle => blu;
fila di 08 perle => viola;
fila di 07 perle => bianca;
fila di 06 perle => grigia;
fila di 05 perle => azzurra;
fila di 04 perle => gialla;
fila di 03 perle => rosa;
fila di 02 perle => verde.
Il materiale è ospitato in un’apposita scaffalatura di legno a parete, dove le varie catene sono appese direttamente sotto al cubo corrispondente, appoggiato su una mensolina; la fila di cubi va da 1 a 1000. Aiuta nella preparazione delle successive attività di moltiplicazione, radice quadrata e radice cubica.
Per approfondire:
6) Gioco dei francobolli # stamp game # Markenspiel
descrizione:
una volta introdotto il bambino al sistema decimale con l’ausilio del materiale delle perle, questo lavoro gli offre l’opportunità di esercitarsi individualmente nelle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Il materiale si compone di una scatola di legno a sei scomparti, contenente i francobolli, dei piccoli birilli e dei gettoni colorati (impiegati per le divisioni). I francobolli sono organizzati nei seguenti ccolori gerarchici:
“1″ => verde chiaro
“10″ => blu
“100″ => rosso
“1000″ => verde scuro
e su ciascuno vi è stampata la quantità corrispondente. Questo materiale è più simbolico rispetto, ad esempio, a quello delle perle, e comporta un maggiore spostamento mentale dal concreto all’astratto; infatti quantità e simboli del sistema decimale si combinano assieme e sono rappresentati da ciascun francobollo.
Per approfondire:
- Presentazione in Montessori Primary Guide
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: stamp game
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: addition
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: subtraction
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: multiplication
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: division
si favoriscono:
autonomia di lavoro, in quanto è un materiale che si presta ad essere utilizzato individualmente (a differenza di quanto accadeva con le perle), esercizio nelle quattro operazioni, apprendimento delle divisioni lunghe.
7) Tavole di Seguin # teens and tens boards # Seguintafeln
descrizione:
la prima scatola serve per lavorare sui numeri da 11 a 19, l’altra per le decine da 11 a 99. In particolare:
tavole di Seguin 11-19 => sono due tavolette, ciascuna delle quali è suddivisa in 5 sezioni uguali; su 9 dei dieci scompartimenti complessivi vi è stampato in nero il numero 10. Vi è poi un set di 9 tessere, sempre di legno, con stampate le cifre da 1 a 9; le tessere sono fatte in modo da scorrere in ogni segmento per andare a coprire lo zero del 10 stampato sul fondo.
tavole di Seguin 11-99 => sono del tutto simili alle tavole precedenti, ma riportano stampati, anziché il solo 10, tutte le decine da 10 a 90 (la prima tavoletta va da 10 a 50, la seconda da 60 a 90). Con questo materiale il bambino esplora la sequenza numerica da 11 a 99.
Per entrambi i materiali vengono in aiuto anche le perle, che si trovano sia in bastoncini che in perle singole e vengono associate alla cifra corrispondente sulle tavole di Seguin (esempi di: bastoncini per le tavole 11-19, bastoncini per le tavolette 11-99).
Per approfondire:
- Montessori Primary Guide: teens boards
- Montessori Primary Guide: tens boards
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: teens boards
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: teens boards variation
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: tens boards
si favoriscono:
associazione fra nome e simbolo di una cifra, comprensione di come, ad esempio, 20 sia dato da 2 decine e così via fino a 90.
Materiale gerarchico # geometric hierarchic material # Hierarchie der Zahlen
descrizione:
si tratta di 3 cubi e 4 prismi di legno nelle dimensioni e colori gerarchici appropriati, per la rappresentazione di unità, decine e centinaia nelle diverse famiglie di numeri. Si utilizza insieme ad una serie di cartellini con i numeri 1, 10, 100, 1000, 10mila, 100mila e 1milione per l’appaiamento delle quantità. In dettaglio comprende:
1 cubo verde (5x5x5 mm) => unità;
1 prisma blu (con suddivisioni verdi 5x5x5 mm) => decine;
1 prisma rosso (con suddivisioni blu 5x5x5 cm) => centinaia;
1 cubo verde (con divisioni rosse 5x5x5 cm) => migliaia;
1 prisma blu (con suddivisioni rosse 5x5x5 cm) => 10mila;
1 prisma rosso (con suddivisioni blu 50x50x50 cm) => 100mila;
1 cubo verde (con suddivisioni rosse 50x50x50 cm) => 1milione.
(tradotto dalle esaurienti descrizioni di Montessori Primary Guide)
Per approfondire:
si favoriscono:
introduzione alle gerarchie del sistema decimale oltre il 1000 e migliore comprensione del funzionamento del sistema decimale.
9) Telai delle gerarchie # bead frames # Rechenrahmen
descrizione:
i telai sono uno strumento utilizzato per compiere diverse operazioni, trascrivendo i passaggi su appositi fogli di carta a righe. In particolare:
1) telaio orizzontale # flat bead frame # liegender Rechenrahmen:
presenta 9 colonne di perle mobili e viene usato appoggiato orizzontalmente su una superficie.
2) telaio grande delle gerarchie # large bead frame # großer Rechenrahmen:
telaio di legno con base di sostegno, formato da 7 fili orizzontali, in ciascuno dei quali sono infilate 10 perle nel colore gerarchico appropriato. A sinistra compare una striscia bianca, grigia e nera che indica le famiglie dei numeri.
3) piccolo telaio delle gerarchie #small bead frame # kleiner Rechenrahmen:
su questo telaio i fili montati sono 4.
Come ricorda il sito ‘Montessori Primary Guide’, Maria Montessori considerava il telaio grande delle gerarchie come il passaggio finale verso l’astrazione; infatti il bambino sceglie quando preferisce smettere di usarlo perchè si sente ormai pronto a farne a meno nel risolvere i problemi. Il controllo dell’errore è dato dall’abilità del bambino, nonché dalle linee colorate della carta sulla quale si trascrivono i passaggi.
Per approfondire:
- Montessori Primary Guide: small bead frame
- Montessori Primary Guide: large bead frame
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: small bead frame
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: large bead frame
si favoriscono:
comprensione della relazione fra le categorie del sistema decimale, pratica nella lettura e scrittura di grandi numeri, esecuzione delle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione.
Altro materiale aritmetico interessante
E’ davvero vasta la quantità di materiali montessoriani che si impiegano per l’aritmetica nelle scuole primarie e, alcuni, già alla Casa dei Bambini. Per ora segnalo questi:
10) Gioco della banca # bank game # Bankspiel
è un materiale studiato per essere utilizzato da un gruppo di bambini; rafforza il concetto della moltiplicazione lunga. Nel corso del gioco ogni bambino assume ruoli diversi e ciascun partecipante è designato da un cartello specifico sul quale è segnato il suo ruolo. La scatola a scomparti contiene tutti i componenti: cartelli con i numeri per il moltiplicando (su sfondo colorato gerarchicamente), cartelli con i numeri per il moltiplicatore (con cifre nere su sfondo grigio), cartelli per i prodotti (con le cifre nei colori gerarchici su sfondo bianco).
11) Serpenti dell’addizione, sottrazione, moltiplicazione # snake game # Schlangenspiel
i bastoncini di perle aiutano qui nella comprensione delle combinazioni di unità numeriche coinvolte nelle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione. Esiste anche un quarto set dedicato ai numeri negativi che non c’è in fotografia (elementary negative snake game ~ Schlangenspiel negativ). Per quanto riguarda gli elementi in fotografia:
2.1 = serpente dell’addizione ~ addition snake game ~ Schlangenspiel zur Addition:
il vassoio di legno contiene tre scatole, una con i bastoncini di perle colorate, una con un set di perle bianche e nere, una con i bastoncini di perle d’oro del dieci
2.2 = serpente della sottrazione ~ subtraction snake game ~ Schlangenspiel zur Subtraktion:
si compone di quattro scatole, una con i bastoncini di perle negativi (grigi), una con i bastoncini di perle colorate, una con un set di perle bianche e nere, una con i bastoncini di perle d’oro del dieci
2.3 = serpente della moltiplicazione ~ multiplication snake game ~ Schlangenspiel zur Multiplikation:
assortito come quello dell’addizione.
Per approfondire:
- Montessori Primary Guide: addition snake game
- Montessori Primary Guide: subtraction snake game
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: positive snake game
- Shu-Chen Jenny Yen’s Album: negative snake game
12) Scatole di esercizi # equations box # Aufgabenkarten
sono delle scatole di legno a due scomparti, dei quali uno contiene i cartellini di tutte le combinazioni possibili contenute nelle tavole delle rispettive operazioni aritmetiche, l’altro contiene i cartellini dei vari risultati. In dettaglio:
2.1 = esercizi per addizione ~ addition equations and sums box ~ Kasten mit Additionsaufgaben;
2.2 = esercizi per sottrazione ~ subtraction equations & sums box ~ Kasten mit Subtraktionsaufgaben;
2.3 = esercizi per moltiplicazione ~ multiplication equations & products box ~ Kasten mit Multiplikationsaufgaben;
2.4 = esercizi per divisione ~ division equations and dividends box ~ Kasten mit Divisionsaufgaben.
13) Tavola per la moltiplicazione # multiplication (phytagorean) board # Multiplikationsbrett
è costituita da una tavola quadrata di legno, traforata, con 100 cavità distribuite in dieci file da dieci (i numeri da 1 a 10 sono stampati in alto) e una finestrella sul lato sinistro che permette di infilarvi i cartellini. Si usa con un gettone rosso, 100 perline (verdi o, come nella foto, rosse) e i cartellini con i numeri da 1 a 10.
Per approfondire:
14) Tavola per la divisione # unit division board # kleines Divisionsbrett
è costituita da una tavola quadrata di legno, traforata, con 81 cavità in nove file di nove (le cifre da 1 a 9 sono stampate in alto e lateralmente), del diametro delle perle unitarie. Si usa con 81 perline verdi e nove piccoli birilli di legno verde.
Per approfondire:
15) Grande tavola per la moltiplicazione # checker board # großes Multiplikationsbrett
è una scacchiera formata da 36 quadrati nei colori gerarchici del verde, blu e rosso. Si usa insieme al box delle perle e con dei cartellini dei numeri.
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